Геометрия

Остроугольный треугольник ABC, высоты которого пересекаются в точке H, вписан в окружность в точке O. Пусть P – точка на окружности, диаметрально противоположная точке A. Докажите, что:
1) ∠PBA = ∠PCA = 90°
2) Четырёхугольник PBHC – параллелограмм
3) Расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH.

Через точку внутри равностороннего треугольника провели прямые, параллельные сторонам, и измерили площади полученных шести частей треугольника. Могло ли оказаться, что они принимают ровно три различных значения?

Две взаимно перпендикулярные хорды окружности AB и CD пересекаются в точке M. Известно, что AD = 6, BC = 8 и центр окружности отстоит от точки M на расстоянии 1.
Найти: а) радиус окружности; б) длины хорд AB и CD.

В треугольнике ABC угол ABC равен 45°. Окружность радиуса 5 проходит через точки A и C, пересекает сторону AB в её середине, а сторону BC в точке K такой, что KC = 3BK. Найти стороны треугольника ABC.

Две взаимно перпендикулярные хорды окружности AB и CD пересекаются в точке M. Известно, что AD = 6,BC = 8 и центр окружности отстоит от точки M на расстоянии 1. Найти: а) радиус окружности; б) длины хорд AB и CD.

Какую часть площади параллелограмма составляет площадь заштрихованной фигуры?

Точки K и L лежат на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD соответственно, причём площадь четырёхугольника BCLK в 5 раз меньше площади четырёхугольника ADLK; CL = 3, DL = 15, CK = 4, KL⊥AB. Найдите DK.

Медианы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M, причём AC = 12, BM = 4. Найдите AA₁² + BB₁² + CC₁².

а) Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на несколько равнобедренных прямоугольных треугольников, среди которых нет одинаковых?
б) Можно ли так разрезать квадрат?