Онлайн-магазин готовых решений

Найти все экстремали функционала $J(y)$: $$J[y]=\int_0^1(1+y){y'}^2 dx,$$ удовлетворяющие граничным условиям $y(0)=0;\ y(1)=3$

Даны вершины $A_1(1,8,2), А_2(4,-1,2), А_3(-1,5,3), А_4(3,3,-3)$ пирамиды:
Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат.
Найти:
1) длину ребра $А_1А_2$;
2) угол между ребрами $А_1А_2$ и $А_1А_4$;
3) уравнение грани $A_1A_2A_3$ и ее площадь;
4) уравнения высоты, опущенной из вершины $A_4$ на грань $А_1А_2А_3$.

Найти экстремали функционалов в изопериметрической задаче: $$J[y]=\int_0^1{y'}^2dx;\ y(0)=2,\ y(1)=2e+1,\ \int_0^1ye^{x-1}dx=e$$

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $$S_1: x^2+y^2+z^2=a^2; S_2: x^2+y^2\le z^2; S_3: z=0, (z\ge 0)$$

Исследовать на экстремум функционал $$V[y]=\int_{0}^{a}{y'}^3 dx$$ с граничными условиями $y(0)=0, y(a)=b (a>0, b>0)$.

Вычислить интеграл $$\oint\limits_{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{9}=1} \frac{z\ \sin{z} dz}{(z-1)^5 }$$

Вычислить интеграл $$\oint\limits_{ |z|=1} \frac{e^z}{z^2(z^2-9)} dz $$

Две окружности радиусов R и r (R > r) внешне касаются в точке K. Одна прямая касается окружностей: большей в точке A, меньшей в точке C. Другая прямая касается окружностей: большей в точке B, меньшей в точке D. Через точку K проведена общая внутренняя касательная, пересекающая прямую AC в точке M, а BD - в точке N.
а) Найти угол AKC.
б) Найти угол O1MO2, где O1 и O2 - центры соответственно большей и меньшей окружностей.
в) Найти длину отрезка AC.
г) Доказать параллельность прямых AB, MN, CD.

Найти все экстремали функционала $J(y)$ $$J[y]=\int_{0}^{1/3}({y'}^2-9y^2+2xye^{3x})dx,$$ удовлетворяющие граничным условиям $y(0)=-1/54;\ y(1/3)=0$

Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала $$V[y]=\int_{0}^{1}(12xy+{y'}^2+x^2)dx,$$ проходящей через точки $y(-1)=-2,\ y(1)=0$.

Найти экстремаль функционалов со старшей производной $$J[y]=\int_0^1({y'''}^2+{y''}^2)dx,$$ удовлетворяющую граничным условиям $y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y''(0)=0,\ y(1)=\sinh{1},\ y'(1)=\cosh{1},\ y''(1)=\sinh{1}$

На предприятии производят два вида изделия А и В, причем для производства 1 тонны изделия А необходимо 1 человеку работать в течение 22 часов, изделия В - 14 часов. Максимальная производительность оборудования в неделю составляет 12 и 18 тонн соответственно. Изделие А приносит прибыль 320 рублей за тонну, изделие В - 245. На предприятии работает 10 человек, в течение 40 часов в неделю каждый.
Рассчитать, сколько тонн каждого продукта должно выпускать предприятие в неделю для получения максимальной прибыли.

Найти экстремали функционалов: с дифференциальными связями:
$$J[y_1,y_2]=\int_0^1({y_1'}^2-2{y_2'}^2+y_2^2)dx;$$
$$y_1(0)=0, y_1(\pi/2)=1, y_2(0)=0, y_2(\pi/2)=\pi/2, y_1-y'_2=0$$

Найти все экстремали функционала $$J[y]=\int_{0}^{1}(y'^2-12xy)dx,$$ удовлетворяющие граничным условиям $y(0)=y(1)=0$.

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos{x}}{(x^2+4)(x^2+9)}dx$$

Вычислить интеграл $$\oint\limits_{ |z|=2} \frac{{\sin}^2 {z} }{(2z+1)z^3} dz $$

Решить методами операционного исчисления:
$$\left\{ \begin{array}{ll}
2x'+y'-3x =0\\
x''+y'-2y=e^{2t}
\end{array} \right. x(0)=-1; x'(0)=1; y(0)=0$$

Найти все экстремали функционала $J(y)$: $$J[y]=\int_{0}^{e}(y'^2-y^2+\frac{2ye^x}{x})e^{-2x}dx,$$ удовлетворяющие граничным условиям $y(1)=0; y(e)=e^{1+e}$

Найти все экстремали функционала $J(y)$: $$J[y]=\int_{1}^{e}(x^3 {y'}^2-xy^2+\frac{2y}{x})dx,$$ удовлетворяющие граничным условиям $y(1)=0;\ y(e)=1/e^2$.

Как построить прямую, пересекающую две данные прямые, и параллельную третьей данной прямой?

Даны векторное поле $\vec{F}=(x-y+z)\vec{i}$ и плоскость $(p): -x+2y+z-4=0$, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду $V$. Пусть $\sigma$ – основание пирамиды, принадлежащее плоскости $(p)$; $\lambda$ – контур, ограничивающий sigma; $n$ – нормаль к $\sigma$, направленная вне пирамиды $V$. Требуется вычислить.
1) Поток векторного поля $F$ через поверхность $\sigma$ в направлении нормали $n$.
2) Циркуляцию векторного поля $F$ по замкнутому контуру $\sigma$ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру $\lambda$ и ограниченной им поверхности $\lambda$ с нормалью $n$.
3) Поток векторного поля $F$ через полную поверхность пирамиды $V$ в направлении внешней нормали к её поверхности, непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

Вычислить интеграл $$\oint\limits_{|z-1|=2} \frac{(z^3+2)e^z}{z(z^2+1) }dz$$

Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin {x}}{x^2+4x+20}dx$$

Вычислить интеграл $$\oint\limits_{|z-1|=1} \frac{dz}{z^4+1}$$