МАТЕМАТИКА

Слот-машина устроена так: нажимаешь на рычаг, а она случайно выбирает цифру от 0 до 9 на каждом из трёх барабанов. Если выпали три одинаковые цифры, машина выдаёт 5000 рублей, нажатие на рычаг стоит 100 рублей. Но машина сломалась: после выпадения 000 цифры на первом барабане стали выпадать по циклу через 1 (0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, …), на втором – через 2 (0, 3, 6, 9, 2, …), на третьем – через 3 (0, 4, 8, 2, …). Выгодно ли это фирме, поставившей машину?

Антон, Борис и Василий решили переплыть с одного берега озера на противоположный, расстояние между которыми составляет 3 км. При этом Антон решил плыть вместе с Борисом на лодке, а Василий отправился вплавь самостоятельно со скоростью 10 метров в минуту. В некоторый момент времени Борис выпрыгнул из лодки и поплыл к месту назначения также со скоростью 10 метров в минуту. В тот же самый момент, когда Борис выпрыгнул из лодки, Антон развернулся, доплыл до встречи с Василием, после чего Василий залез обратно в лодку, и они отправились к пункту назначения.

Даны натуральные числа a₁, a₂, ..., a₁₈ такие, что max_{1 <= i, j <= 18}|a_i - a_j| = 2, при этом a₁ + a₂ + ... + a₁₈ = 231. Найдите максимальное значение выражения a₁² + a₂² + ... + ₁₈².

Мотоциклист отправился в поездку. Первую треть времени он ехал со скоростью 11 м/с, затем четверть оставшегося пути со скоростью 24 м/с, остальное – со скоростью 16 м/с. Найдите среднюю скорость мотоциклиста на всем пути.

Дима и Руслан выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 22 вопроса теста, а Руслан — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Руслана на 10 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Смешав 17-процентный и 23-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 16-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 26-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 17-процентного раствора использовали для получения смеси?

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Первый трактор начал пахать поле. Через 2 ч к нему присоединился второй, и после 8 ч совместной работы они вспахали 80% поля. За сколько часов мог вспахать поле первый трактор, если известно, что ему на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?