Математическая логика

С помощью рассуждений докажите, что
а) $\overline{A\cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$,
б) $\left(A\backslash B\right)\cup \left(A\backslash C\right)=A\backslash \left(B\cap C\right)$,
в) $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

Возможно ли, что m(A) = 9, m(B) = 16, m(C) = 17 и m(A∩B) = 5, m(A∩C) = 8, m(B∩C) = 13, m(A∪B∪C) = 22

Один из школьников: Ваня, Петя, Вася или Игорь случайно разбил в классе стекло. На вопрос, кто это сделал, они дали противоречивые ответы:
Ваня: стекло разбил Вася
Петя: ни Ваня, ни Вася этого не делали
Вася: Петя стекло не разбивал
Игорь: это сделал Петя
Можно ли по этим ответам однозначно определить виновника, если солгать мог только он сам, а также не более чем один из остальных троих?

14 школьников участвовало в олимпиаде по истории, 16 – в олимпиаде по географии, 10 – в олимпиаде по физике. 8 учеников участвовали в олимпиадах и по истории, и по географии, 4 – в олимпиадах и по истории, и по физике, 9 – в олимпиадах и по географии, и по физике. Во всех трёх олимпиадах участвовали 3 человека. Сколько всего было школьников?

Симметрической разностью множеств A и B (обозначение $A\Delta B$) называют $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)$.
а) С помощью диаграмм Эйлера покажите, что $A\Delta B=\left(A\cup B\right)\backslash \left(A\cap B\right)$.
б) Докажите, что $A\Delta B=\left(A\cup B\right)\backslash \left(A\cap B\right)$

Дано универсальное множество U и три его подмножества A, B и C. Известно, что $|U|=17$, $|\bar{A}|=9$, $|\bar{B}|=5$, $|\bar{C}|=6$, $|\bar{A}\cap\bar{B}|=4$, $|\bar{A}\cap\bar{C}|=3$, $|\bar{B}\cap\bar{C}|=1$, $|\bar{A}\cap\bar{B}\cap\bar{C}|=1$. Найти $|\bar{B}\cap C|$, $|\bar{A}\cap B|$, $|A\cap\bar{B}\cap\bar{C}|$, $|\bar{A}\cap\bar{B}\cap C|$, $|A\cap B\cap C|$.

Проверить, справедливо ли следующее логическое следование: $$(P\vee\bar{R})\rightarrow Q\ \models\ (P\rightarrow Q)\land R$$

С помощью равносильных преобразований упростить формулу: $$((A\land B)\leftrightarrow B)\leftrightarrow(B\rightarrow A)$$

Составить таблицу истинности для функции $$f(x_1;x_2 )=(\overline{x_1}\to (x_1 \cap x_2 ))\cup \overline{(\overline{x_1}\cap x_2)}$$