Комбинаторика

Задача № 16838

100₽
Цена: 100₽

В строке 1, 2, 3, …, 100 переставили числа так, чтобы получился «алфавитный порядок», то есть сначала идут числа, начинающиеся с 1, затем начинающиеся с 2, и т.д. (числа, начинающиеся с одной цифры, упорядочиваются по второй цифре). Получилась строка: 1, 10, 100, 11, 12, … Сколько чисел осталось на своём месте?

Задача № 16807

200₽
Цена: 200₽

Задача № 16806

75₽
Цена: 75₽

В турнире по теннису участвовало N теннисистов, каждый сыграл с каждым один матч. В итоге оказалось, что все выиграли поровну матчей (ничьих в теннисе не бывает). В следующем году теннисистов стало на одного больше, и снова каждый сыграл с каждым один матч. Могло ли теперь оказаться, что все выиграли поровну матчей?

Задача № 16805

200₽
Цена: 200₽

Сколько существует возрастающих геометрических прогрессий из 10 натуральных чисел, в которых все числа меньше 100000?

Задача № 16804

200₽
Цена: 200₽

Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 100 натуральных чисел, в которых все числа меньше миллиона?

Задача № 16589

50₽
Цена: 50₽

В строку записаны несколько букв О и Р в произвольном порядке (назовём это «словом»). Первым ходом между каждыми двумя соседними буквами исходного слова впишем дополнительные буквы по таким правилам:
-если соседние буквы одинаковые, между ними вписывается О;
-если соседние буквы разные, между ними вписывается Р.

Задача № 16543

200₽
Цена: 200₽

На окружности отмечено 50 точек. Рассмотрим все треугольники с вершинами в них. Может ли среди них тупоугольных быть ровно в 2 раза больше, чем остроугольных?

Задача № 16478

100₽
Цена: 100₽

Число N обладает таким свойством: если в нём вычеркнуть несколько цифр (одну или больше, но чтобы что-то осталось), то всегда получается простое число или 1. Какое наибольшее число знаков может иметь N?

Задача № 16426

150₽
Цена: 150₽

Задача № 16212

100₽
Цена: 100₽

Можно ли грани додекаэдра раскрасить в 6 цветов так, чтобы для любой тройки цветов нашлась вершина, в которой сходятся три грани этих трех цветов?

Задача № 16136

50₽
Цена: 50₽

Отмечены вершины и середины сторон правильного 11-угольника (то есть всего отмечено 22 точки). Сколько существует выпуклых четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Задача № 16134

200₽
Цена: 200₽

По периметру круглой площади растёт 40 берёз. Сколькими способами можно вырубить 11 берёз так, чтобы в их число не попали никакие две берёзы, стоящие рядом?

Задача № 16054

100₽
Цена: 100₽

Для каких натуральных n набор чисел 1, 2, ..., n можно разбить на две группы так, чтобы произведение чисел одной группы было равно сумме чисел другой группы?

Задача № 16050

100₽
Цена: 100₽

У Миши есть кубики двух цветов. Он строит из них башню, ставя каждый следующий кубик на предыдущий. Запрещено использовать более 14 кубиков каждого из цветов. Миша заканчивает строить башню, как только в ней окажется 14 кубиков какого-то цвета. Сколько различных башен может построить Миша?

Подписка на Комбинаторика