Аналитическая геометрия

Привести к простейшему виду уравнения линии второго порядка, определить её тип и сделать схематический рисунок. Все вычисления проводить с точностью до 0,01.
$$2x^2+8xy+8y^2+4x+16y=0$$

Даны координаты вершин пирамиды $А_1 А_2 А_3 А_4$. Найти:
1) длину ребра $А_1 А_2$;
2) угол между ребрами $А_1 А_2$ и $А_1 А_4$;
3) угол между ребром $А_1 А_4$ и гранью $А_1 А_2 А_3$;
4) площадь грани $А_1 А_2 А_3$;
5) объем пирамиды;
6) уравнения прямой $А_1 А_2$;
7) уравнение плоскости $А_1 А_2 А_3$;
8) уравнения высоты, опущенной из вершины $А_4$ на грань $А_1 А_2 А_3$.
Сделать чертеж.
$ А_1 (4;6;5), А_2 (6;9;4), А_3 (2;10;10), А_4 (7;5;9)$.

Найти координаты точек пересечения кривых. Указать вид кривых. Сделать рисунок.
$$\left\{ \begin{array}{ll}
y^2 = x\\
y = -2x+1\\
\end{array} \right. $$

Через ось Oz проведена плоскость, составляющая с плоскостью $2x+y-\sqrt{5}z=0$, угол 60°. Найти уравнение этой плоскости. Решить методами аналитической геометрии.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(7,3,4), B(1,0,6), C(4,5,-2). Решить средствами векторной алгебры.

Дано: $\vec a=2\vec i + \vec j + \vec k;$ $\vec b = \{-2;1;1\}; A(3,0,1); B(0,1,-2)$.
Найти:
1) Проекцию вектора $\vec{AB}$ на вектор $\vec b$;
2) Площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами $\vec a$ и $\vec b$;
3) Смещенное произведение;
4) При каком $\lambda$ векторы $\vec{AB}$ и $\vec a + \lambda \cdot \vec{AB}$ ортогональны?

Даны уравнения прямых $l_1 и l_2$:
$$l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}; l_2: \frac{x+16}{-14}=\frac{y-13}{2}=\frac{z-7}{-5}$$
1) убедиться в том, что прямые $l_1 и l_2$ скрещивающиеся;
2) составить уравнение плоскости π, проходящей через $l_1$ параллельно $l_2$.

Написать уравнение плоскости τ, проходящей через точки $М_1(-4;5;-4)$ и $М_2(-1;-4;-4)$ перпендикулярно заданной плоскости $\pi:
4x-3y-z-3=0$.

Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды $А_1 А_2 А_3 А_4$.
$$A_1(-1;-1;0), A_2(11;2;-4),A_3(11;-4;4), A_4(1;3;3),$$
Найти:
1) угол α между ребрами $А_1 А_2$ и $А_1 А_4$;
2) площадь S грани $А_1 А_2 А_3$;
3) объем V пирамиды,
4) уравнение плоскости π грани $А_1 А_2 А_3$;
5) угол β между ребром $А_1 А_4$ и гранью $А_1 А_2 А_3$;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины $А_4$ на грань $А_1 А_2 А_3$.
Выполнить чертеж