МАТЕМАТИКА

Последовательность задана следующими условиями: $$c_1=a;c_2=b;$$ $$c_{2n+1}=c_n+c_{n+1}, при \ n \ge 1$$ $$c_{2n+2}=c_n+c_{n+2}, при \ n\ge 1$$
Выразите $c_{2022}$ через $a$ и $b$.

a) Нарисуйте на клетчатой бумаге выпуклый шестиугольник, вершины которого лежат в вершинах клеток, а стороны идут не обязательно по сторонам клеток, который можно двумя прямыми разрезать на четыре равные части.
b) Решите ту же задачу для выпуклого семиугольника.

Петя, Вася и Толя на уроке физкультуры по очереди бросают друг другу волейбольный мяч. Первым его бросает Петя. Найдите число способов, которыми мяч может вернуться обратно к Пете через 23 броска (не обязательно впервые).

Натуральное число называется палиндромом, если оно читается слева направо и справа налево
одинаково (например, 2, 33 или 12321). Для каких натуральных n существует палиндром, делящийся
на n?

Несколько интровертов и экстравертов хотят разбиться на четыре команды. Каждый по очереди выбирает команду, причём интроверты выбирают какую-то команду минимального размера на момент выбора, а экстраверты – максимального. Могли ли команды получиться попарно различного размера?

Есть проволочный каркас прямоугольного ящика и верёвка. Разрешается выбрать любые несколько точек на каркасе, соединить их подряд натянутой верёвкой и измерить её длину, от первой точки до последней. Предложите способ за два таких измерения найти суммарную площадь всех шести граней ящика.

Имеется клетчатое кольцо шириной в одну клетку. Участники № 1 и № 2 делают ходы по очереди. Начинает Участник № 1. В свой ход Участник № 1 ставит крестик в свободную клетку (где еще нет никакого значка). Участник № 2 в свой ход ставит в свободную клетку нолик. Крестик и нолик не могут стоять в соседних клетках. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
У кого из игроков есть гарантированный способ выиграть, если всего клеток в кольце: а) 2020; б) 2021?

Можно ли однозначно определить числа, записанные в вершинах куба, если знать сумму чисел на каждом ребре куба?

За круглым столом сидят 25 рыцарей, которые представляют два ордена. В зале тусклый свет, поэтому каждый видит только четырёх ближайших соседей – по два слева и справа. Докажите, что один из рыцарей видит слева и справа поровну рыцарей своего ордена.