Онлайн-магазин готовых решений

Даны векторное поле $\vec{F}=(x-y+z)\vec{i}$ и плоскость $(p): -x+2y+z-4=0$, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду $V$. Пусть $\sigma$ – основание пирамиды, принадлежащее плоскости $(p)$; $\lambda$ – контур, ограничивающий sigma; $n$ – нормаль к $\sigma$, направленная вне пирамиды $V$. Требуется вычислить.
1) Поток векторного поля $F$ через поверхность $\sigma$ в направлении нормали $n$.
2) Циркуляцию векторного поля $F$ по замкнутому контуру $\sigma$ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру $\lambda$ и ограниченной им поверхности $\lambda$ с нормалью $n$.
3) Поток векторного поля $F$ через полную поверхность пирамиды $V$ в направлении внешней нормали к её поверхности, непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

Дано скалярное поле $u=u(x; y)$:
а) составить уравнение линии уровня $u = C$ и построить её график;
б) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля $u=u(x; y)$ в точке $A$ по направлению вектора $\overline{AB}$

Задана функция двух переменных $Z=2-x^2-y^2$. Найти:
а) Наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области $D: y \ge -2; y-2x \le 2; x+y \le 2$;
б) Вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ - градиент функции Z(x,y) в точке A(-1,-1). Область D и вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ изобразить на чертеже.

Даны векторное поле $\vec{F}=(x+1)\vec{i}+(y-2-xzx)\vec{j}+z \vec{k}$ и плоскость $2x-y+3z-5=0$, которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду. Пусть G - основание пирамиды, G ограничивающий контур - λ, нормаль к G, направленная вне пирамиды.
Требуется:

• Вычислить поток векторного поля $\vec{F}$ через поверхность в направлении нормали n
• Вычислить циркуляцию векторного поля $\vec{F}$ по замкнутому контуру $\lambda$ непосредственно и применив теорему Стокса к контуру $\lambda$ и ограниченной им поверхности G с нормалью n
• Вычислить поток векторного поля $\vec{F}$ через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно, и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

Задана функция двух переменных $Z=x^2+y^2+4$. Найти:
а) Наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области $D: y \ge -2; y+2x \le 2; y-x \le2$;
б) Вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ - градиент функции Z(x,y) в точке A(1,-1). Область D и вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ изобразить на чертеже.

Задана функция двух переменных $Z=x^2+y^2+2*y+5$. Найти:
а) Наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области $D: x \ge -1; y \ge -2; x+y \le 3$;
б) Вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ - градиент функции Z(x,y) в точке А(1,1). Область D и вектор $\overrightarrow{gradZ_A}$ изобразить на чертеже.

Дано скалярное поле $u=u(x; y)$:
а) составить уравнение линии уровня $u = C$ и построить её график;
б) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля $u=u(x; y)$ в точке $A$ по направлению вектора $\overline{AB}$

Расставить пределы интегрирования для двойного интеграла $$\iint_D {f(x,y) dxdy}$$ и изменить порядок интегрирования. $D:y=0;y=(x+1)^2;y=(x-1)^2$.

Найти точки экстремума функции $z=-3x^2-2y^2-4xy+x$

Найти полный дифференциал функции двух переменных: $$f(x;y)=4x^5-3x^2y^3-6y^5 $$

Дана функция $z=f(x,y)$ и две точки $A(x_0,y_0)$ и $B(x_1,y_1)$. Требуется:
1) вычислить приближенное значение функции z в точке B;
2)вычислить приближенное значение функции z в точке B, исходя из значения функции z в точке A, заменив приращение функции при входе от точки A к точке B дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом;
3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке $C(x_0,y_0,z_0)$.
$$z=3x^2+2y^2-xy; A(-1,3); B(-0.98,2.97)$$

Даны функция $z=f(x,y)$, точка $A(x_0,y_0)$ и вектор $\vec{a}$. Найти:
1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению вектора a.
$$z=\arcsin \frac{x^2}{y}; A(1,2), a=5\vec{i} - 12\vec{j}$$.

Найти полный дифференциал функции двух переменных: $$f(x;y)=2xy^3-4x^3 y-y^4$$

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $z=x^2-y$ в области D, ограниченной кривыми $y=x^2; y=\sqrt{x}$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+y^2$ в области $$x^2+y^2\le 100$$

Применяя формулы дифференцирования сложной функции, найти $z'_t$, (т. е. $\frac{dz}{dt}$):
$$z=e^{xy},x=\sin{⁡t},y=\cos⁡ (1-t)$$

Исследовать на экстремум функцию $$z=xy+\frac{50}{x}+\frac{20}{y}$$ при $х>0, у>0$.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x;y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
$$z=3-2x^2-xy+y^2, x \le 1, y \ge 0, y \le x$$

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0).
$$y^6=a^2(3y^2-x^2)(y^2+x^2)$$

Найти частные производные и полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков:
$$z=x\cdot \ln (x-y^3)$$

Найти экстремумы функции $z=2x^2-5xy+2y^3-3x+4y$

Исследовать на экстремум функцию $z=x^2+2xy-y^2+4x$

Дана функция $z=y^x$. Показать, что $$y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=(1+y \ln x) \frac {\partial z}{\partial x}$$

Исследовать на экстремум функцию $$ z=x^2+xy+y^2-3x-6y $$